Successione

Le funzioni il cui dominio è costituito dai numeri naturali $f: \mathbb N \rightarrow \mathbb R$ sono dette successioni

Una successione è una legge che ad ogni numero naturale $n$ fa corrispondere uno ed un solo numero reale $a_n$, e si indica con $\{a_n\}_{n \in \mathbb N}$

Successione limitata

Una successione si dice limitata se esiste un numero reale $M >0$ tale che $|a_n| \leq M$ $\forall n \in \mathbb N$

In particolare, una successione $\{a_n\}{n \in \mathbb N}$ è limitata superiormente se esiste un numero $M$ tale che per ogni $n$ risulta $a_n < M$, cioè si ha $sup\{a_n\}{n \in \mathbb N} < + \infin$

Invece è limitata inferiormente se $inf\{a_n\}_{n \in \mathbb N} > - \infin$

Successione monotona

Una successione è detta monotona se verifica una delle seguenti condizioni:

• $a_n$ strettamente crescente $\Leftrightarrow a_n < a_{n+1}$ $\forall n \in \mathbb N$
• $a_n$ crescente $\Leftrightarrow a_n \leq a_{n+1}$ $\forall n \in \mathbb N$
• $a_n$ strettamente decrescente $\Leftrightarrow a_n > a_{n+1}$ $\forall n \in \mathbb N$
• $a_n$ decrescente $\Leftrightarrow a_n \geq a_{n+1}$ $\forall n \in \mathbb N$

Se $a_n = a \in \mathbb R$ $\forall n \in \mathbb N$, con $a$ numeo reale fissato, si dice che $a_n$ è una successione costante. In questo caso la successione è sia crescente che decrescente

Successione estratta

Si dice che $b_n$ è una successione estratta da $a_n$ se esiste una successione strettamente crescente di numeri naturali $k_n$ tale che $b_n = a_{k_n}$