Spazio topologico

Se $X$ è un insieme non vuoto, una famiglia $T$ di sottoinsiemi di $X$ è una topologia su $X$ se si verificano le proprietà:

• $X \in T$ e $\emptyset \in T$: $X$ e l’insieme vuoto appartengono a $T$
• $\bigcup Z \in T, \forall Z \in T$: l’unione di un numero qualsiasi di elementi di $T$ appartiene a $T$
• $Y \cap W \in T, \forall Y, W \in T$: l’intersezione di due insiemi qualsiasi di $T$ appartiene a $T$

Gli elementi di $T$ sono detti aperti e la coppia $(X, T)$ è detta spazio topologico

Spazio metrico

Se $X$ è un insieme non vuoto, una funzione $d: X \times X \rightarrow \mathbb R^+$, che associa a due punti $a$ e $b$ di $X$ un numero reale non negativo $d(a,b)$, è detta metrica se $\forall a,b,c \in X$ sono soddisfatte:

• $d(a,b) \geq 0$ e $d(a,b) = 0 \Leftrightarrow a=b$
• $d(a,b) = d(b,a)$
• $d(a,c) \leq d(a,b) + d(b,c)$: disuguaglianza triangolare

Il numero reale $d(a,b)$ è detto distanza tra $a$ e $b$ e la coppia $(X,d)$ è detta spazio metrico

Se in $\mathbb R$ definiamo $d(a,b) = |a-b|$ otteniamo la metrica naturale o euclidea sulla retta reale

Intorno

Sia $x_0 \in \mathbb R$ e sia $r > 0$, si chiama intorno di centro $x_0$ e raggio $r$ l’insieme $I(x_0,r)=\{x \in \mathbb R: d(x,x_0) < r\}$

Punto interno, esterno, di frontiera

$x_0 \in \R$ è interno ad $A \subset \mathbb R$ se esiste un intorno di $x_0$ contenuto in A, cioè se $\exist \varepsilon >0 : I(x_0,\varepsilon) \subset A$

$x_0$ è esterno se esiste un intorno di $x_0$ contenuto nel complementare di $A$, cioè se $\exist \varepsilon >0: I(x_0,\varepsilon) \subset A^C$

$x_0$ è di frontiera se in ogni intorno di $x_0$ ricadono punti di $A$ e punti del complementare di $A$, cioè se $\forall \varepsilon >0, \exist y_1 \in A, y_2 \in A^C: y_1,y_2 \in I(x_0, \varepsilon)$

Insieme aperto