Sia $f: A\rightarrow \mathbb R$ una funzione e $x_0$ un punto di accumulazione per $A$
Diremo che $lim_{x\rightarrow x_0}f(x) = L \in \mathbb R$ se $\forall \epsilon >0 \space \exist \delta(\epsilon)>0: \forall x \in A$, con $0 < |x-x_0| < \delta$, risulta $|f(x) -L| < \epsilon$
Oppure con l’utilizzo di intorni se $\forall J \in I(L) \space \exist I \in I(x_0) : f(x) \in J \space \forall x \in I \cap (A\backslash \{x_0\})$
def varie limite
Sia $A \subseteq \mathbb R$ e $x_0$ punto di accumulazione per $A$, sia $f: A \rightarrow \mathbb R$ una funzione
Si ha $lim {x \rightarrow x_0} f(x) = L \in \mathbb R$ se e solo se per ogni successione $\{x_n\}{n \in \mathbb N}$ a valori in $A \backslash \{x_0\}$ e convergente a $x_0$, risulta $lim_{n \rightarrow +\infin}f(x_n) = L$
Se il limite di una funzione in un punto esiste, esso è unico
dim: sia $f$ una funzione definita in $A$. Supponiamo per assurdo che $lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = l_1$ e $lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = l_2$
Sia $l_1 < l_2$ e scegliamo $0<\epsilon < \frac{l_2-l_1}{2}$, dalla definizione di limite abbiamo che:
$\exist \delta_1 >0 : |f(x)-l_1| < \epsilon \space \forall x \in A$ con $0 < |x-x_0| < \delta_1$
$\exist \delta_2 >0: |f(x)-l_2| < \epsilon \space \forall x \in A$ con $0 < |x-x_0| < \delta_2$
Scelto $\delta = min\{\delta_1, \delta_2\}$, allora $\forall x \in A$ con $0 < |x-x_0|<\delta$ valgono entrambe le disuguaglianze precedenti e quindi possiamo scrivere $\begin{cases}l_1 - \epsilon < f(x) < l_1 + \epsilon \\ l_2 - \epsilon < f(x) < l_2 + \epsilon \end{cases}$ da cui $l_2 - \epsilon < f(x) < l_1 + \epsilon$
Quindi $l_2 - \epsilon < l_1 + \epsilon \Rightarrow \epsilon > \frac{l_2-l_1}{2}$ contro l’ipotesi
Poichè l’assurdo è nato dall’aver supposto l’esistenza di più limiti, il limite è unico