Infinitesimi

Se $lim_{x \rightarrow x_0} f(x)= 0$, $f(x)$ si dice infinitesima in $x_0$

Siano $f(x)$ e $g(x)$ infinitesime in $x_0$, se:

• $lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = l\neq 0$, allora $f(x)$ e $g(x)$ sono dette infinitesime dello stesso ordine in $x_0$, cioè esse tendono a zero con la stessa rapidità
• $lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$, allora i due infinitesimi si dicono equivalenti e si scrive $f(x) \sim g(x)$
• $lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$, allora $f(x)$ è infinitesimo di ordine superiore a $g(x)$, cioè tende a zero più rapidamente di $g(x)$ e si scrive $f(x) = o(g(x))$
• $lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \pm \infin$, allora $f(x)$ è infinitesimo di ordine inferiore a $g(x)$, cioè tende a zero più lentamente di $g(x)$ e quindi $g(x) = o(f(x))$
• $lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}$ non esiste, allora i due infinitesimi non sono confrontabili

Dati due infinitesimi $f(x)$ e $g(x)$ per $x \rightarrow x_0$ si dice che $f(x)$ è un infinitesimo di ordine $\alpha (>0)$ rispetto a $g(x)$ quando $f(x)$ è dello stesso ordine di $[g(x)]^\alpha$, cioè $lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{[g(x)]^\alpha} = l \neq 0$

In questo caso si dice che $g(x)$ è stato preso come infinitesimo campione

In generale, se $x \rightarrow x_0$ si prende $g(x) = x - x_0$, se invece $x \rightarrow \pm \infin$ si prende $g(x) = \frac{1}{x}$

Principio di sostituzione degli infinitesimi

Se esiste il limite del rapporto di due infinitesimi, esso resta invariato se si sostituisce ciascun infinitesimo con un infinitesimo equivalente

Equivalenze utili

• $senf(x) \sim f(x)$ se $f(x) \rightarrow 0$
• $tgf(x) \sim f(x)$ se $f(x) \rightarrow 0$
• $arctgf(x) \sim f(x)$ se $f(x) \rightarrow 0$
• $arcsenf(x) \sim f(x)$ se $f(x) \rightarrow 0$
• $e^{f(x)}-1 \sim f(x)$ se $f(x) \rightarrow 0$
• $ln(1+f(x)) \sim f(x)$ se $f(x) \to 0$