Una funzione $f: A \rightarrow B$ è una legge che ad ogni $x \in A$ fa corrispondere uno ed un solo elemento $y = f(x) \in B$
Gli insiemi $A$ e $B$ si chiamano rispettivamente dominio $D(f)$ e codominio $Cod(f)$ della funzione
La $x$ è detta variabile indipendente, la $y$ variabile dipendente
Si definisce immagine di $A$ tramite $f$ l’insieme $Im(f) = f(A) = \{y \in B : \exist x \in A \text{ tale che } y = f(x)\}$
Se $f: A\rightarrow B$ e $C \subset B$, si chiama controimmagine o immagine inversa dell’insieme $C$, l’insieme $f^{-1}(C) = \{x \in A: f(x) \in C\}$
Siano $f: X \rightarrow Y$ e $g: W \rightarrow Z$ due funzioni tali che $f(X) \subseteq W$. Si chiama funzione composta di $f$ e $g$ la funzione $g \circ f: X \rightarrow Z$ che ad ogni elemento $x \in X$ associa quell’unico elemento $z \in Z$ tale che $z = g(w)$ essendo $w =f(x)$
In generale risulta $g \circ f \neq f \circ g$
Una funzione $f: A \rightarrow B$ è detta iniettiva se $\forall x_1,x_2 \in A$ con $x_1 \neq x_2$ risulta $f(x_1) \neq f(x_2)$
Una funzione $f: A\rightarrow B$ è detta suriettiva se $\forall y \in B$ $\exist x \in A: y = f(x)$, o equivalentemente se $Im(f) = B$
Una funzione $f: A \rightarrow B$ è detta biunivoca se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva, cioè se $\forall y \in B$ $\exist ! x \in A : y = f(x)$
Una funzione biunivoca è invertibile
Una funzione $f: A \rightarrow \mathbb R$ si dice crescente se $\forall x_1, x_2 \in A$ con $x_1 < x_2$ si ha $f(x_1) \leq f(x_2)$
Una funzione $f: A \rightarrow \mathbb R$ si dice strettamente crescente se $\forall x_1, x_2 \in A$ con $x_1 < x_2$ si ha $f(x_1) < f(x_2)$
Una funzione $f: A \rightarrow \mathbb R$ si dice decrescente se $\forall x_1, x_2 \in A$ con $x_1 < x_2$ si ha $f(x_1) \geq f(x_2)$
Una funzione $f: A \rightarrow \mathbb R$ si dice strettamente decrescente se $\forall x_1, x_2 \in A$ con $x_1 < x_2$ si ha $f(x_1) > f(x_2)$