Possiamo considerare i numeri complessi come coppie ordinate $(a,b)$ di numeri reali, il primo numero è la parte reale mentre il secondo è la parte immaginaria
Su queste coppie definiamo direttamente le operazioni di somma e prodotto nel seguente modo:
Somma e prodotto verificano le proprietà commutativa, associativa e distributiva
L’elemento neutro della somma è la coppia $(0,0)$, quello del prodotto è $(1,0)$
Il simmetrico di $(a,b)$ rispetto alla somma è $(-a,-b)$, rispetto al prodotto è $(\frac{a}{a^2 + b^2},\frac{-b}{a^2+b^2})$
Le proprietà che identificano un campo sono verificate per la somma e per il prodotto quindi l’insieme così strutturato è un campo, detto campo dei numeri complessi $\mathbb C$
Esiste una corrispondenza biunivoca tra $\mathbb C$ ed $\mathbb R^2$, quindi ad un numero complesso $a+ib$ è possibile associare il punto del piano di coordinate cartesiane $(a,b)$
Nel piano di Gauss l’asse x è detto asse reale, l’asse y è detto asse immaginario
Il modulo di un numero complesso è la sua distanza dall’origine, cioè $\rho = |a+ib| = \sqrt{a^2+b^2}$
Il vettore che unisce l’origine con il punto $(a,b)$ forma un certo angolo $\theta$ con l’asse reale, detto argomento
Dal teorema dei triangoli rettangoli, abbiamo che $\begin{cases} a=\rho cos \theta \\b= \rho sen \theta \end{cases}$
Quando $a \neq 0$ e quindi non abbiamo un numero immaginario, dalla precedente relazione ricaviamo che $tg\theta = \frac{b}{a}$
Quindi il numero complesso $a+ib$ in forma algebrica può essere scritto in rappresentazione trigonometrica come $\rho cos \theta +i\rho sen\theta = \rho (cos\theta + isen\theta)$
Dati due numeri complessi in forma trigonometrica $z_1= \rho_1 (cos\alpha +isen\alpha)$ e $z_2 = \rho_2 (cos \beta+isen\beta)$, il loro prodotto è $z_1 \cdot z_2 = \rho_1 \cdot \rho_2 (cos\alpha cos \beta - sen\alpha sen\beta+icos\alpha sen\beta +i sen\alpha cos \beta)$