Sia $X \subset \mathbb R$. Si dice che $L \in \mathbb R$ è un maggiorante di $X$ se per ogni $x \in X$ risulta $x \leq L$
Si dice invece che $L \in \mathbb R$ è un minorante di $X$ se per ogni $x \in X$ risulta $x \geq L$
Osservazione: se $L$ è un maggiorante di $X$, allora ogni elemento $M \in \mathbb R$ tale che $M \geq L$ è ancora un maggiorante di $X$; se $L$ è un minorante di $X$, allora ogni elemento $M \in \mathbb R$ tale che $M \leq L$ è ancora un minorante di $X$
Si dice che $X$ è limitato superiormente se $\exist M \in \mathbb R: x \leq M,\forall x \in X$
Si dice che $X$ è limitato inferiormente se $\exist m \in \mathbb R: x \geq m , \forall x \in X$
L’insieme $X$ è detto limitato se lo è sia superiormente che inferiormente
Si chiama massimo di $X$ il più piccolo dei maggioranti di $X$ che appartiene ad $X$
Si chiama minimo di $X$ il più grande dei minoranti di $X$ che appartiene ad $X$
Sia $A \subset \mathbb R$ un insieme limitato superiormente. L’insieme dei maggioranti di $A$, $M(A)$, ha minimo
Analogamente l’insieme dei minoranti ha massimo
Si chiama estremo superiore di $A$, $sup(A)$, il minimo dei maggioranti
Si chiama estremo inferiore di $A$, $inf(A)$, il massimo dei minoranti
Se l’insieme non è limitato superiormente o inferiormente si scrive $sup(A) = +\infin$ o $inf(A) = -\infin$
Sia $X \subset \mathbb R$. Se esistono il massimo e il minimo di $X$ sono unici