Dimostrazione

Una dimostrazione è un ragionamento corretto che stabilisce la verità di un’asserzione matematica (detto teorema) attraverso l’uso di altre asserzioni vere: ipotesi del teorema, assiomi che si assumono essere veri, teoremi dimostrati precedentemente

Teorema

Un teorema è un’asserzione che si può dimostrare essere vera

Tipicamente un teorema lo si può vedere in questo modo: $(p_1 \land p_2 \land p_3 \land .. \land p_n) \rightarrow q$ (ipotesi e conclusione)

Dimostrazione diretta

$p \rightarrow q$ viene dimostrata mostrando che ”se $p$ è $T$ allora $q$ è $T$” in maniera diretta:

• si parte dal fatto che $p$ è $T$
• si fanno una serie di deduzioni, usando assiomi, definizioni e teoremi precedentemente provati per arrivare a dire che anche $q$ è $T$

Esempio: Sia $n$ un intero. Provare che ”Se $n$ è dispari, allora $n^2$ è dispari”

dim: assumiamo che l’ipotesi sia vera, cioè n è dispari, allora $n = 2k+1$ dove $k$ è un qualunque intero

$n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2( 2k^2 + 2k) +1$ quindi $n^2$ è dispari

Esempio: siano $n$ ed $m$ interi. Provare che ”se $n$ ed $m$ sono dispari, allora $n+m$ è pari”

dim: assumiamo che l’ipotesi sia vera, cioè $n$ ed $m$ sono dispari, allora $n = 2k+1$ e $m = 2h+1$ dove $k$ ed $h$ sono due qualunque interi

$n+m = (2k+1) + (2h+1) = 2k+2h+2 = 2(k+h+1)$ quindi $n+m$ è pari

Dimostrazione per contrapposizione

$p \rightarrow q$ viene dimostrata mostrando che ”se $\neg q$ è $T$ allora $p$ è $F$” (contronominale $\neg q \rightarrow \neg p$)

Esempio: provare che ”se $3n+2$ è dispari, allora $n$ è dispari”