Una funzione $f: A \rightarrow \mathbb R$ è continua in un punto $x_0$ se $lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = f(x_0)$
Dalla definizione di limite possiamo analogamente dire che una funzione è continua in un punto $x_0$ se $\forall \epsilon >0 \space \exist \delta (\epsilon) >0 : \forall x \in A$ con $|x- x_0|< \delta$ risulti $|f(x) -f(x_0)| < \epsilon$
Se la funzione $f$ è continua in ogni punto di un insieme $A$ scriveremo $f \in C^0(A)$ e diremo che è di classe $C^0$ di $A$
Esempi: sono continue in $\mathbb R$ le funzioni polinomiali $f(x) = a_0x^n +a_1x^{n-1}+..+a_{n-1}x + a_n$, $senx$ e $cosx$, $tgx$ in $\mathbb R \backslash \{\frac{\pi}{2} + k \pi; k \in \mathbb Z\}$, $cotgx$ in $\mathbb R \backslash \{k\pi;k \in \mathbb Z\}$, la funzione esponenziale in $\R$, la funzione logaritmica in $\mathbb R^+$
Sia $f:[a,b] \rightarrow \mathbb R$ continua. Se $f(a) \cdot f(b) < 0$ , allora esiste almeno un $x_0 \in (a,b)$ tale che $f(x_0) = 0$
dim: sia $f(a)< 0$ e $f(b) >0$. Per assurdo, supponiamo che $f(x) \neq 0$ $\forall x \in [a,b]$ e consideriamo l’insieme $A = \{ x \in [a,b] : f(x)<0\}$
Sicuramente $A \neq \emptyset$ poichè contiene almeno $a$, inoltre è limitato superiormente e risulterà $supA = x_0 < b$
Certamente $f(x_0) \neq 0$ poichè $f(x) \neq 0$ $\forall x \in [a,b]$
Se $f(x_0) < 0$ , per la permanenza del segno $\exist r >0: \forall x \in I(x_0,r)$ si ha $f(x) <0$, quindi in $(x_0, x_0+r)$ si ha $f(x)<0$, pertanto $x_0$ non è un maggiorante
Se $f(x_0) >0$, per la permanenza del segno in $(x_0-r, x_0)$ si ha $f(x)>0$, quindi $x_0$ non è il minimo dei maggioranti
Pertanto la funzione si annulla in $x_0$, cioè $f(x_0)=0$
Sia $f: [a,b]\rightarrow \mathbb R$ continua con $f(a) < f(b)$, allora la funzione assume tutti i valori compresi tra $f(a)$ e $f(b)$
dim: consideriamo un $y \in (f(a), f(b))$ e la funzione continua $g(x) = f(x) -y$
Possiamo osservare che $g(a) = f(a)-y<0$, $g(b)= f(b)-y>0$
Per il teorema degli zeri esiste $x_0 \in (a,b)$ tale che $g(x_0)=f(x_0)-y=0$, quindi $y= f(x_0)$
Una funzione continua in un insieme chiuso e limitato ha massimo e minimo