Se $f(x)$ è continua in $[a,b]$, derivabile in $(a,b)$ con $f(a) = f(b)$, allora esiste almeno un punto $c \in(a,b)$ tale che $f'(c) = 0$
Geometricamente il teorema di Rolle afferma che esiste almeno un punto interno in cui la retta tangente è parallela all’asse delle $x$
dim: la funzione è continua nell’insieme chiuso e limitato e per il teorema di Weierstrass ha massimo e minimo assoluti
Nel caso banale che questi si trovano agli estremi dell’intervallo, da $f(a)=f(b)$ si ha che il massimo coincide con il minimo, quindi la funzione è costante e dunque ha derivata sempre nulla
Se almeno uno dei due è interno ed è raggiunto per una certa ascissa $c$, poichè la funzione è derivabile, il teorema di Fermat ci garantisce che $f'(c)=0$