Sia $f:A \rightarrow \mathbb R$ e sia $x_0$ un punto di massimo o di minimo relativo interno ad $A$, se $f$ è derivabile in $x_0$ risulta $f'(x_0) =0$
dim: supponiamo che $x_0$ sia un punto di massimo relativo interno, allora esiste un intorno completo $I_{x_0}$ di $x_0$ tale che $f(x) \leq f(x_0) \space \forall x \in I_{x_0}$ e quindi, considerato $x_0+h \in I_{x_0}$ con $h \in \mathbb R$, si ha $f(x_0+h) \leq f(x_0)$
Pertanto $\frac{f(x_0+h) -f(x_0) }{h} \leq 0$ per $h >0$ e $\frac{f(x_0+h) -f(x_0)}{h} \geq 0$ per $h<0$
Siccome la funzione è derivabile in $x_0$, ricordando il teorema della permanenza del segno si ha $f'(x_0)=lim_{h \to 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \leq 0$ e $f'(x_0)=lim_{h \to 0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \geq 0$
Essendo la funzione derivabile in $x_0$, risulterà $f'(x_0)=0$