Teorema della permanenza del segno

Se $lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = l \neq 0$ allora la funzione è localmente concorde con il limite

dim: sia $f$ una funzione definita in $A$. Se $lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = l$, allora per la definizione di limite $\forall \epsilon >0 \space \exist \delta(\epsilon) > 0 : \forall x \in A$ , con $0 < |x-x_0| < \delta$, risulta $l-\epsilon < f(x) < l+ \epsilon$

Scegliendo $\epsilon = |l|$ otteniamo $l - |l| < f(x) < l +|l|$

Da questa relazione notiamo che:

• se $l>0$, $0 < f(x) < 2l$ e quindi la funzione è positiva
• se $l < 0$, $2l<f(x)<0$ e quindi la funzione è negativa