Teorema del confronto (dei carabinieri)

Se $h(x) \leq f(x) \leq g(x)$ $\forall x \in I(x_0, r)$ e $lim_{x \rightarrow x_0}h(x) = lim_{x \rightarrow x_0}g(x) = l$, allora anche $lim_{x \rightarrow x_0} f(x) =l$

dim: dalla definizione di limite si ha che $\forall \epsilon > 0 \space |h(x) -l|< \epsilon \space \forall x \in I(x_0, r_1)$ e $|g(x) -l| < \epsilon \space \forall x \in I(x_o, r_2)$

Nell’insieme $I(x_o, r_1) \cap I(x_o, r_2)$ le due relazioni valgono contemporaneamente e possiamo scrivere $l - \epsilon < h(x) \leq f(x) \leq g(x) < l+\epsilon$

Quindi si ha che $l-\epsilon < f(x) <l+\epsilon$, pertanto $lim_{x \rightarrow x_0}f(x) =l$