Sia $f:[a,b] \rightarrow \mathbb R$ continua. Se $f(a) \cdot f(b) < 0$ , allora esiste almeno un $x_0 \in (a,b)$ tale che $f(x_0) = 0$
dim: sia $f(a)< 0$ e $f(b) >0$. Per assurdo, supponiamo che $f(x) \neq 0$ $\forall x \in [a,b]$ e consideriamo l’insieme $A = \{ x \in [a,b] : f(x)<0\}$
Sicuramente $A \neq \emptyset$ poichè contiene almeno $a$, inoltre è limitato superiormente e risulterà $supA = x_0 < b$
Certamente $f(x_0) \neq 0$ poichè $f(x) \neq 0$ $\forall x \in [a,b]$
Se $f(x_0) < 0$ , per la permanenza del segno $\exist r >0: \forall x \in I(x_0,r)$ si ha $f(x) <0$, quindi in $(x_0, x_0+r)$ si ha $f(x)<0$, pertanto $x_0$ non è un maggiorante
Se $f(x_0) >0$, per la permanenza del segno in $(x_0-r, x_0)$ si ha $f(x)>0$, quindi $x_0$ non è il minimo dei maggioranti
Pertanto la funzione si annulla in $x_0$, cioè $f(x_0)=0$