Una funzione $f$ è differenziabile in $x_0$ se e solo se è derivabile in $x_0$ e si ha $df(\Delta x) = f'(x_0)\Delta x \space \forall \Delta x \in \R$
dim: $(\Rightarrow)$ supponiamo che la funzione sia differenziabile, si ha che $lim_{\Delta x \to o} \frac{f(x_0+ \Delta x) -f(x_0)}{\Delta x} = lim_{\Delta x \to 0} [\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)-df(\Delta x)}{\Delta x}+ \frac{df(\Delta x)}{\Delta x}] = \frac{df(\Delta x)}{\Delta x}$, quindi $f'(x_0) = \frac{df(\Delta x)}{\Delta x}= df(1)$
Ne segue che $f$ è derivabile in $x_0$ ed il valore della derivata coincide con il valore del differenziale nel punto $1$
$(\Leftarrow)$ Viceversa, supponiamo la funzione derivabile e sia $df=f'(x_0) \Delta x$
Allora $lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)- df(\Delta x)}{\Delta x} = lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x) -f(x_0)}{\Delta x}-f'(x_0) =0$ da cui la differenziabilità