Se una funzione è derivabile in un punto $x_0$, la funzione è ivi anche continua
dim: consideriamo l’uguaglianza $f(x_0 + \Delta x) = f(x_0)+f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)$, che riscriviamo nel seguente modo $f(x_0 + \Delta x)=f(x_0)+ \frac{f(x_0+ \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \Delta x$
Facciamo tendere $\Delta x$ a zero ricordando il teorema sulla somma dei limiti $lim_{\Delta x \to 0}f(x_0+\Delta x)= lim_{\Delta x \to o}f(x_0)+lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \Delta x$
Il primo limite del secondo membro è il limite di una funzione costante che non dipende da $\Delta x$ e quindi $lim_{\Delta x \to 0}f(x_0)=f(x_0)$
La funzione è derivabile e risulta $lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} = c \in \R$
Pertanto $lim_{\Delta x \to 0}f(x_0 + \Delta x) = f(x_0)+lim_{\Delta x \to 0}c \cdot \Delta x = f(x_0)+ c \cdot 0= f(x_0)$
Ma $\Delta x \to 0 \Rightarrow x \to x_0$, per cui $lim_{x \to x_0}f(x)=lim_{\Delta x \to 0}f(x_0+ \Delta x)=f(x_0)$ cioè la funzione è continua