Cosa serve per avere uno spazio vettoriale:

• Un campo $\mathbb K$ di scalari (ad esempio $\mathbb R$ o $\mathbb C$)

• Un **insieme $V$**detto spazio di vettori

• Un’operazione binaria interna indicata con $+$ e detta somma di vettori:

  $+: V\times V \rightarrow V \\ (v,w) \rightarrow v+w$

• Un’operazione binaria esterna indicata con $\cdot$ e detta prodotto di un vettore per uno scalare:

  $\cdot : \mathbb K \times V \rightarrow V \\ (\lambda, v) \rightarrow \lambda \cdot v$

Definizione:

Si dice che $(V, +, \cdot)$ è uno spazio vettoriale sul campo $\mathbb K$ se soddisfa le seguenti proprietà:

• la struttura algebrica $(V, +)$ è un gruppo commutativo, cioè:
  • $+$ è associativa: $(u+v)+w= u+(v+w)$
  • $\exist$ elemento neutro rispetto a $+$: $v+0_V=v=0_V+v$
  • ogni elemento è simmetrizzabile rispetto a $+$: $v+w = 0_V = w+v$
  • $+$ è commutativa: $v+w=w+v$
• l’operazione $\cdot$ verifica:
  • $\lambda \cdot(\beta \cdot v)= (\lambda \beta) \cdot v$
  • $\exist$ elemento neutro rispetto a $\cdot$: $1 \cdot v = v$
  • proprietà distributiva rispetto alla somma di vettori: $\lambda \cdot (v+w) = \lambda \cdot v + \lambda \cdot w$
  • proprietà distributiva rispetto alla somma tra scalari: $(\lambda + \beta) \cdot v = \lambda \cdot v + \beta \cdot v$

Esercizio dell’esame:

Dato che $M_n(\mathbb K)$ è uno spazio vettoriale su $\mathbb K$ (libro pag 306), in questo caso basta verificare che $S$ è parte stabile per $+$ e $\cdot$, cioè;

• $\forall X_1,X_2 \in S, X_1+X_2 \in S$
• $\forall \lambda \in \mathbb K$ e $\forall X \in S, \lambda X \in S$

Quindi si dimostra che $A(X_1+X_2) = (X_1+X_2)A$ e che $A(\lambda X) = (\lambda X)A$