Un punto $\underline{x}^* \in X$ è un ottimo globale per la funzione di minimo $f(\underline{x})$ se e solo se: $f(\underline{x}^*) \leq f(\underline{x})$ $\forall \underline{x} \in X$
Un punto $\underline{x}' \in X$ è un ottimo locale per la funzione di minimo $f(\underline{x})$ se e solo se: $f(\underline{x}') \leq f(\underline{x})$ $\forall \underline{x} \in N(\underline{x}'; \epsilon)$ con $\epsilon > 0$
Ogni ottimo globale è anche ottimo locale, in generale non è vero il viceversa
Ci sono però casi particolari in cui tutti gli ottimi locali sono anche ottimi globali
Un problema di PL può essere:
La risoluzione di un problema di PL comporta sempre la restituzione di una delle precedenti tre risposte
Un problema di ottimizzazione si dice inammissibile se $X = \empty$, cioè non esistono soluzioni ammissibili
Un problema di ottimizzazione di minimo si dice illimitato inferiormente se scelto un qualsiasi scalare $k$, esiste sempre un punto $\underline{x} \in X$ tale che $f(\underline{x}) < k$
n.b. una soluzione con valore ottimo illimitato implica un insieme di ammissibilità $X$ illimitato, ma non è vero il viceversa
Un problema di ottimizzazione di minimo si dice illimitato superiormente se scelto un qualsiasi scalare $k$, esiste sempre un punto $\underline{x} \in X$ tale che $f(\underline{x}) > k$
Un iperpiano in $\R^n$ è l’insieme dei punti $H= \{ \underline{x} \in \R^n: \underline{p}^T \underline{x} = k\}$ dove $\underline{p}^T$ è un vettore non nullo in $\R^n$ e $k$ è uno scalare