Per la radice $\sqrt[n]{z_1} = z_2 \Rightarrow z_1 = z_2^n$, quindi $\rho_1(cos\alpha +isen\alpha) = \rho_2^n(cosn\beta + isenn\beta)$

Poichè questi due numeri sono uguali, vuol dire che hanno stesso modulo e stesso argomento $\begin{cases} \rho_2^n = \rho_1 \\ n\beta = \alpha + 2k\pi \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \rho_2 = \sqrt[n]{\rho_1} \\ \beta = \frac{\alpha + 2k\pi}{n} \end{cases}$

Le radici distinte si ottengono per $k \in[0,n-1]$, quindi le radici ennesime sono esattamente $n$ e si ottiene $z_k = \sqrt[n]{\rho}(cos \frac{\theta + 2k \pi}{n}+isen \frac{\theta +2k \pi}{n})$ con $k =0,1,2,..,n-1$