Un punto di un poliedro $X$ è un punto estremo se e solo se non può essere espresso come combinazione convessa stretta di altri punti di $X$
Formalmente: $\underline{x} \in X$ è un vertice $\iff \nexists \underline{x}', \underline{x}'' \in X, \underline{x}' \neq \underline{x}'' : \underline{x} = \lambda \underline{x}' + (1-\lambda) \underline{x}''$ con $0 <\lambda < 1$
Dato un poliedro $X$ non vuoto e limitato con punti estremi $\underline{x}_1,..,\underline{x}k$, ogni punto $\underline{y} \in X$ può essere espresso come combinazione convessa dei punti estremi di $X$, cioè: $\underline{y} = \sum{j=1}^k \lambda _j \underline{x}j$ con $\sum{j = 1}^k \lambda_j= 1$ e $\lambda _j \geq 0$ $\forall j = 1,..,k$
In generale: una combinazione convessa di $\underline{x}_1, \underline{x}_2, \underline{x}_3$ permette di ottenere tutti i punti di $X' \subset X$
Per capire quando un poliedro è illimitato bisogna considerare le sue direzioni estreme
Un raggio $R$ di vertice $\underline{x}_0$ e di direzione $\underline{d}$ è l’insieme di punti $R= \{\underline{x}_0 + \lambda \underline{d} : \lambda \geq 0\}$
Dato un poliedro $X$, il vettore $\underline{d}$ è una direzione di $X$ se e solo se per ogni punto $\underline{x}_0 \in X$, il raggio $\underline{x}_0 + \lambda \underline{d}$ appartiene ad $X$ $\forall \lambda \geq 0$
Poliedro $X = \{\underline{x} : A \underline{x} \leq \underline{b}, \underline{x} \geq 0\}$
Dato un qualsiasi punto $\underline{x}_0 \in X$, il vettore $\underline{d}$ è una direzione del poliedro $X$ se:
Poiché $\underline{x}_0 \in X$: