Principio di induzione

Se una proprietà $P(\N)$ vale per $n=1$ e, se supposta vera per $n$, risulta vera per $n+1$, allora $P(\N)$ risulta vera per ogni $n$

Infatti, chiamiamo $A$ l’insieme dei numeri naturali per i quali $P(\N)$ è vera $A=\{n \in \N: P(n) \text{ è vera}\}$

• per ipotesi $P(1)$ è vera e quindi $1 \in A$
• inoltre se $P(n)$ è vera, $n \in A$, allora lo è anche $P(n+1)$ e quindi $n+1 \in A$

Per il quinto assioma di Peano $A= \N$ e cioè $P(n)$ è vera per ogni $n$

Disuguaglianza di Bernoulli

$(1+a)^n \geq 1+n\cdot a \space \forall a \in \R, a \geq -1$

dim:

• per $n = 1$ abbiamo $1+a \geq 1+a$ che è vera

• supponiamola vera per $n$ e dimostriamo che è vera anche per $n+1$ cioè che $(1+a)^{n+1} \geq 1+(n+1)\cdot a$

  Abbiamo supposto vera la relazione per un certo $n$ e quindi $(1+a)^n \geq 1+n \cdot a$

  Siccome $a \geq -1$, allora $1+a \geq 0$; moltiplichiamo ambo i membri della precedente disuguaglianza per il numero non negativo $1+a$ e otteniamo $(1+a)(1+a)^n \geq (1+a)(1+n\cdot a)$

  Dalla proprietà additiva delle potenze $(1+a)^{n+1} \geq (1+a)(1+n \cdot a)$

  Moltiplicando il secondo membro, possiamo scrivere $(1+a)^{n+1} \geq 1+a+n\cdot a + n \cdot a^2 = 1+ (1+n) \cdot a + n \cdot a^2 \geq 1+(1+n) \cdot a$

  Pertanto $(1+a)^{n+1} \geq 1+(1+n) \cdot a$

Per il principio di induzione, la disuguaglianza di Bernoulli è sempre vera