Serie di Fourier

<aside> <img src="/icons/exclamation-mark_blue.svg" alt="/icons/exclamation-mark_blue.svg" width="40px" /> Una funzione periodica $g(t)$ è sviluppabile in una serie costituita da un termine costante $c$ e da una somma di infinite sinusoidi $g(t)= \frac{1}{2}c + \Sigma_{n=1}^\infin a_n sen(2\pi n ft) + \Sigma_{n=1}^\infin b_n cos(2\pi n ft)$

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Le cui frequenze sono multiple intere della frequenza fondamentale $f = \frac{1}{T}$ e le cui ampiezze $a_n$ e $b_n$ (di sen e cos della n-esima armonica) sono calcolabili secondo le formule:

• $a_n=\frac{2}{T} \int_0^T g(t)sen(2\pi nft)dt$
• $b_n=\frac{2}{T} \int_0^T g(t)cos(2\pi nft)dt$
• $c =\frac{2}{T} \int _0^T g(t) dt$

I quadrati delle ampiezze $\sqrt{a_n^2+b_n^2}$ sono proporzionali alle energie trasmesse alle corrispondenti frequenze

Scomposizione in sinusoidi

• se il periodo $T$ è noto e le ampiezze sono definite qualsiasi funzione si può ricostruire esattamente dalla serie di Fourier
• per un segnale di durata finita si può immaginare che ripeta infinite volte lo stesso schema quindi l’intervallo fra 0 e T è identico a quello da T a 2T
• le ampiezze $a_n$ si calcolano moltiplicando ogni termine per $cos(n2\pi ft)$ e integrando fra 0 e T

Dunque, un segnale variabile nel tempo è di fatto equivalente ad una somma di funzioni sinusoidali aventi ciascuna una propria ampiezza e frequenza

<aside> <img src="/icons/exclamation-mark_blue.svg" alt="/icons/exclamation-mark_blue.svg" width="40px" /> Si può quindi rappresentare un segnale g(t) di durata T in un modo diverso, e cioè attraverso il suo spettro di frequenze, ossia attraverso la sua scomposizione in sinusoidi

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Banda di frequenza

Qualunque segnale è dunque caratterizzato da un intervallo di frequenze nel quale sono comprese le frequenze delle sinusoidi che lo descrivono

• esso va sotto il nome di banda di frequenza (frequency bound) del segnale

Diversi fattori influenzano le caratteristiche della banda di un segnale

• tanto più è breve la durata T del segnale, tanto più è alto il valore della frequenza fondamentale
• tanto più velocemente nel tempo varia la g(t), tanto più numerose sono le armoniche necessarie a descriverlo

Spettro di un segnale